WinShareでリモート操作画面の保存をすると、8ビットカラーにて保存されますが、
フルカラー(24ビットカラー)で保存する方法はありませんか？

申し訳ありませんが、本件はVer6.12以下のバージョンでの制限事項になります。
オペレーションPC側(操作する側)をVer6.13以上にバージョンアップしていただくこと
で解決いたします。
それ以外の場合は、「Altキー」+「PrintScreenキー」などで利用できるＯＳのスクリ
ーンショット機能にてご代用ください。