キャッシュサーバのホスト名（FQDN）を変更することで、何か影響はありますか？

特に影響はありません。
ただ、Viaヘッダは変更されませんので、デフォルト値のままの場合は、変更前のホスト名が設定されています。
Viaヘッダは、Management Consoleの[プロキシ]→[詳細設定]画面から変更することができます。